第12课 泉州一中汉诺塔擂台

讲述与活动

请学生打开第12课并准备三张大小不同的纸盘，桌面标出A、B、C三根柱子。说明这是课堂设定的算法挑战，基础目标是合法搬完3盘并核对步数；进阶目标是解释任务分解。函数与递归属于选学，本课用已学循环就能算最少步数。先做小盘数，不要求生成大盘数的全部移动。
课堂安排：共45分钟。教师精讲，学生在离线网页独立操作。课前打开包内本课HTML，无需班级座号登录或联网，等待内嵌Python完成本机初始化。绿色下划线文字为对应课程的可点击入口。
本套课件承接第1课，所有插画只作教学情境示意。封面背景使用生成式插画。 45分钟优先完成小步、主问题和独立测验；迁移与递归、复杂保护等拓展可课后完成。绿色链接指向包内课程，保持目录完整。

提问

本课必做需要递归吗？

参考答案

不需要。必做是3盘合法操作、用循环核对最少步数，并区分步数与移动序列；递归为选学。

巡视重点

先备纸盘与A/B/C位置，按基础和进阶分层。

讲述与活动

教师用实物演示一次合法和一次不合法的尝试：小盘移到空柱或更大盘上合法，抽底盘或大盘压小盘不合法。请学生用规则说明原因，暂不讨论最快步数。把盘按从小到大标为1、2、3号，后续序列用此编号。强调所谓最少步数是在始终遵守这些规则、使用三根柱子的前提下讨论。

提问

怎样判断一次移动是否合法？

参考答案

只能取当前柱顶的一盘，放到空柱或比它大的盘上；不能抽底盘或大盘压小盘。

巡视重点

每次移动后检查三柱状态。

讲述与活动

教师用实物按表格从上到下演示，学生逐步核查是否取的是柱顶盘、目标柱是否允许放入。1号最小，3号最大。第1至3步先将上面两盘从A搬到B；第4步将最大的3号盘从A搬到C；第5至7步再将两盘从B搬到C。请学生指出第3步后A上只剩大盘、C空着，这正是第4步合法的原因。最后确认三个盘在C上仍按大小排列。

提问

3盘序列第4步为什么可以移动大盘？

参考答案

前3步已把小塔移到B，A仅剩3号盘，C为空，所以3号盘可从A到C。

巡视重点

对照七步记录，核对盘号、起点与终点。

讲述与活动

请学生将三阶段与刚才3盘的7步记录对应。要把最大盘从A移到C，上面的小盘必须先移开，且C不能有比它小的盘，因此小塔先集中到B。随后搬大盘，再将小塔搬到C。每段小塔任务采用最少步数时，整套流程也达到下界，由此得到两倍上一项再加一，而不是仅凭1、3、7猜规律。

提问

为什么需要两次n−1小塔任务？

参考答案

先移开上方小盘腾出最大盘，再移动最大盘，最后把小塔移到目标柱。

巡视重点

三柱规则下说明所需下界与可达到方案，不仅猜数字。

讲述与活动

从0盘0步说明初值含义，再逐行计算。让学生用手指指出每个式子的两个旧步数对应哪两段小塔移动，中间的1对应哪一次大盘移动。不要只让学生快速报出下一项。核对3盘的7步时，将表格与合法操作序列连接：一方面有可达到的7步方案，另一方面三阶段给出所需下界。

提问

4盘最少多少步？

参考答案

2×7+1=15；两个7对应两次3盘小塔，中间1对应最大盘。

巡视重点

从0盘0步起，解释每一项含义。

讲述与活动

把循环每一轮与上一页的一行对应。disk是当前正在推算的盘数，steps是该盘数的最少步数。解释range包含1至n，n+1不会作为盘数被计算。最后的2**n-1是核对最少步数的公式；区分一个星号的乘法与两个星号的幂。指出本程序输出总次数，还没有输出盘子具体从哪根柱子搬到哪根柱子。

提问

n=4代码输出哪些关键数？

参考答案

逐行(1,1)、(2,3)、(3,7)、(4,15)，最后公式核对15。

巡视重点

disk是当前推算盘数，steps为最少次数，**是幂。

讲述与活动

请学生在离线网页第12课“学一学”顺序完成五个小步。巡视中优先让学生指着纸盘解释规则，避免只凭数字规律选答案。代码题卡住时，让他把0、1、3等已知状态逐轮写在纸上，再补表达式。强调循环是计算最少次数的工具，递归不是本课必过要求；较快者可协助检查同桌的纸盘移动是否合法。

提问

小步最后一题三轮怎样更新？

参考答案

steps从0开始，依次为1、3、7。每轮2*steps+1，结果是次数而非完整操作序列。

巡视重点

先用纸盘理解，递归不是过关条件。

教师参考

讲述与活动

请学生看自己刚运行的输出，逐项检查是否包含盘号、起点、终点。如果只有盘数和最少步数，就不能称为完整搬盘方案。追问算出64盘步数是否等于真的搬完，预期明确区分计算总量和执行全部操作。递归程序可用于生成小规模序列，但属于选学；自然语言讲清三阶段同样是有效的分解解释。

提问

只有“3盘最少7步”算完整方案吗？

参考答案

不算。方案还要逐步记录哪个盘从哪柱移到哪柱，并检查合法性与最终位置。

巡视重点

准确命名两份成果：最少步数计算、合法移动记录。

讲述与活动

学生先动手完成3盘，可打开验证实验第12课的真移动区，也可用纸盘。真移动区可拦截非法移动、撤销并导出记录。教师观察有无抽底盘或大盘压小盘，并提醒多于7步也可能合法，需继续思考能否减少。之后运行离线网页计步程序核对1、3、7，4盘15步为选做，保留检测使用的n和steps。结束时让学生分别交代操作记录与计算结果，避免混成同一种证据。 本课程包提供8组公开检验。本课固定检测核对steps，要求依次输出各轮disk与steps，最后输出2**n-1。大整数保持int精确值，不改成float。此检测验证计步程序，合法移动记录另行检查。 通过只说明公开样例符合规则，仍要解释数据与执行过程。 建议前4分钟两人一组操作记录，后4分钟运行核对。递归与64盘时间估计不列入本环节必做。 至少亲手完成一次3盘合法移动并与7步对照，这是必做要求。2盘仅作脚手架；超过7步可保留合法记录和优化反思。自动检测会用其他盘数核验同一计步规则。

提问

8分钟主活动先后怎样安排？

参考答案

前4分钟合作完成并记录3盘，后4分钟运行计步程序核对1至3盘并检测；4盘选做。多于7步可能合法，需与最少7步比较并记录反思。

巡视重点

3盘合法搬完为必做；2盘作脚手架，4盘及64盘计数为选做。

讲述与活动

让学生先预测n=0时的循环范围，预期没有取值，steps保持0。再检查1盘是否恰好一步，用最小情况抓住初值错误。指出循环执行n次是在逐项计算步数，而实际搬盘次数按结果增长，两者不能混淆。若学生说4盘只搬4次，请他回看程序每轮到底在更新数字还是在执行一个具体搬盘动作。

提问

n=0时循环几次，最少几步？

参考答案

循环0次，steps保持0，公式2**0-1也为0；n=4是算4轮而非实际只搬4步。

巡视重点

初值不能设成1，区分计算轮数与搬盘次数。

讲述与活动

迁移先用10盘核对1023步，再选看64盘的精确整数，不生成全部移动序列。若每秒移动一次、每年按365天计算，64盘约需5849.42亿年；这是按规定速度换算的数学量级。提醒Python整数可保存这个步数，除法换成年数则是近似表示。拓展重点是判断算法任务规模，不能把大数字的冲击取代三阶段解释。 此页为选做，基础未完成者继续主任务；改变算法规则的迁移另存副本，到验证实验或用手算预期核验，返回原检测前恢复主任务。

提问

64盘精确步数是多少？

参考答案

18446744073709551615步；每秒1步、365天/年约5849.42亿年。只计算总数，不生成全部移动。

巡视重点

步数用整数保存，时间换算为近似；10盘1023步先核对。

讲述与活动

请学生口头比较前一课与本课：台阶取前两项相加，汉诺塔取上一项两倍加一。要求解释各项对应的实际任务，不只报式子。对将两种规则混用的学生，让他选一个最小例子验证。最后说明由小问题推算大问题是共同思想，但究竟保留几个旧值、怎样更新，必须由各自规则决定。

提问

汉诺塔与台阶能交换更新式吗？

参考答案

不能。汉诺塔有两次同规模小塔加一次大盘；台阶按最后一步来自两个不同规模，故前两项相加。

巡视重点

用任务结构解释公式来源。

讲述与活动

给学生四分钟独立完成离线网页知识检测，教师不带读具体答案。反馈时请学生解释两次小塔和中间一步，而不是重复“乘2加1”。自评中亲手完成合法移动必须有实际操作依据，只有程序通过不能代替这一条。对未完成7步最优方案的学生先肯定其合法操作，再把减少步数留作课后挑战。 按真实表现自评；完成后导出学习记录JSON、学习报告或代码，记录仅在本机保存。

提问

测验与操作记录怎样相互支持？

参考答案

逐轮记录验证步数，七步盘号/起终点记录验证操作合法；两种证据分别保存。

巡视重点

独立作答后订正，不把会背15当作完成全部任务。

教师参考

讲述与活动

用一分钟回顾从生活计算到算法挑战的共同方法：说明规则、先做小例子、运行程序、留下核对证据。学生可课后选一讲完善“怎样算、凭什么信”的校园数据说明卡，汇集两组测试及模型边界。本课不追加递归代码要求，愿意深入的学生只用3至5盘研究移动序列，并逐步核对合法性。

提问

这套课程最后要留下什么作品？

参考答案

可运行且经边界核验的计步程序、一份3盘合法操作记录，以及对三阶段与最少步数的解释。

巡视重点

真实自评并导出记录，未完成部分标出具体卡点。